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    【教學指導】函數(shù)的單調(diào)性

    時間:2019-08-29 23:51:40 點擊:650次

    課題:第一章  第三節(jié) 第一課時

    §1.3.1函數(shù)的單調(diào)性      

    一、教學目標

    1、知識與技能:

    (1)建立增(減)函數(shù)的概念

    通過觀察一些函數(shù)圖象的特征,形成增(減)函數(shù)的直觀認識. 再通過具體函

    數(shù)值的大小比較,認識函數(shù)值隨自變量的增大(減?。┑囊?guī)律,由此得出增(減)函數(shù)單調(diào)性的定義 . 掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟。

       (2)函數(shù)單調(diào)性的研究經(jīng)歷了從直觀到抽象,以圖識數(shù)的過程,在這個過程中,讓學生通過自主探究活動,體驗數(shù)學概念的形成過程的真諦。

        2、過程與方法:

    (1)通過已學過的函數(shù)特別是二次函數(shù),理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義;

    (2)學會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì);

    (3)能夠熟練應用定義判斷與證明函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性.

    3、情態(tài)與價值:

        使學生感到學習函數(shù)單調(diào)性的必要性與重要性,增強學習函數(shù)的緊迫感.

    二、教學重難點

    1、教學重點:函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義.

    2、教學難點:利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性.

    三、教學準備

    1、學法:從觀察具體函數(shù)圖象引入,直觀認識增減函數(shù),利用這定義證明函數(shù)單調(diào)性。通過練習、交流反饋,鞏固從而完成本節(jié)課的教學目標。

    2、教學用具:投影儀、計算機.

    四、教學過程:

    (一)創(chuàng)設情景,揭示課題

    1. 觀察下列各個函數(shù)的圖象,并說說它們分別反映了相應函數(shù)的哪些變化規(guī)律:

       

       

       

       

       

      1 隨x的增大,y的值有什么變化?

      2 能否看出函數(shù)的最大、最小值?

      3 函數(shù)圖象是否具有某種對稱性?

    2. 畫出下列函數(shù)的圖象,觀察其變化規(guī)律:      

      (1)f(x) = x

       1 從左至右圖象上升還是下降 ______?

      2 在區(qū)間 ____________ 上,隨著x的增

      大,f(x)的值隨著 ________ .

       

      (2)f(x) = x2

      1在區(qū)間 ____________ 上,

      f(x)的值隨著x的增大而 ________ .

      2 在區(qū)間 ____________ 上,f(x)的值隨

      著x的增大而 ________ .

       

      3、從上面的觀察分析,能得出什么結(jié)論?

      學生回答后教師歸納:從上面的觀察分析可以看出:不同的函數(shù),其圖象的變

      化趨勢不同,同一函數(shù)在不同區(qū)間上變化趨勢也不同,函數(shù)圖象的這種變化規(guī)律就是函數(shù)性質(zhì)的反映,這就是我們今天所要研究的函數(shù)的一個重要性質(zhì)——函數(shù)的單調(diào)性(引出課題)。

      (二)研探新知

      1、y = x2的圖象在y軸右側(cè)是上升的,如何用數(shù)學符號語言來描述這種“上升”呢?

      學生通過觀察、思考、討論,歸納得出:

      函數(shù)y = x2在(0,+∞)上圖象是上升的,用函數(shù)解析式來描述就是:對于(0,+∞)上的任意的x1,x2,當x1<x2時,都有x12<x22 . 即函數(shù)值隨著自變量的增大而增大,具有這種性質(zhì)的函數(shù)叫增函數(shù)。

      2.增函數(shù)

      一般地,設函數(shù)y=f(x)的定義域為I,

      如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1,x2,當x1

      3、從函數(shù)圖象上可以看到,y= x2的圖象在y軸左側(cè)是下降的,類比增函數(shù)的定義,你能概括出減函數(shù)的定義嗎?

      注意:

      1 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì),是函數(shù)的局部性質(zhì);

      2 必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1,x2;當x1

      4.函數(shù)的單調(diào)性定義

      如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù),那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間:

      (三)質(zhì)疑答辯,發(fā)展思維。

      根據(jù)函數(shù)圖象說明函數(shù)的單調(diào)性.

      例1 如圖是定義在區(qū)間[-5,5]上的函數(shù)y=f(x),根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,以及在每一單調(diào)區(qū)間上,它是增函數(shù)還是減函數(shù)?

       

             解:略

      例2 物理學中的玻意耳定律P=(k為正常數(shù))告訴我們,對于一定量的氣體,當其體積V減少時,壓強P將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。

      分析:按題意,只要證明函數(shù)P=在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù)即可。

      證明:略

      3.判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟

      利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟:

      ① 任取x1,x2∈D,且x1

      ②作差f(x2)-f(x1);

      ③變形(通常是因式分解和配方);

      ④定號(即判斷差f(x2)-f(x1)的正負);

      ⑤下結(jié)論(即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).

      鞏固練習:

      1 課本P38練習第1、2、3題;

      2 證明函數(shù)在(1,+∞)上為增函數(shù).

      例3.

      解:(略)

      思考:畫出反比例函數(shù)的圖象.

      1 這個函數(shù)的定義域是什么?

      2 它在定義域I上的單調(diào)性怎樣?證明你的結(jié)論.

      (四)歸納小結(jié)

      函數(shù)的單調(diào)性一般是先根據(jù)圖象判斷,再利用定義證明.畫函數(shù)圖象通常借助計算機,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時必須要注意函數(shù)的定義域,單調(diào)性的證明一般分五步:

      取 值 →作 差 → 變 形 → 定 號 → 下結(jié)論

      (五)設置問題,留下懸念

      1、教師提出下列問題讓學生思考:

      ①通過增(減)函數(shù)概念的形成過程,你學習到了什么?

      ②增(減)函數(shù)的圖象有什么特點?如何根據(jù)圖象指出單調(diào)區(qū)間?

      ③怎樣用定義證明函數(shù)的單調(diào)性?

      師生共同就上述問題進行討論、交流,發(fā)表自己的意見。

      2、書面作業(yè):課本P39習題1、3題(A組)第1,2題。

       

                                                                  指導教師:黃文彬

       

                                                                       2020.1.2


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