課題：第一章  第三節 第一課時

§1.3.1函數的單調性      

一、教學目標

1、知識與技能：

（1）建立增（減）函數的概念

通過觀察一些函數圖象的特征，形成增（減）函數的直觀認識. 再通過具體函

數值的大小比較，認識函數值隨自變量的增大（減小）的規律，由此得出增（減）函數單調性的定義 . 掌握用定義證明函數單調性的步驟。

   （2）函數單調性的研究經歷了從直觀到抽象，以圖識數的過程，在這個過程中，讓學生通過自主探究活動，體驗數學概念的形成過程的真諦。

    2、過程與方法:

（1）通過已學過的函數特別是二次函數，理解函數的單調性及其幾何意義；

（2）學會運用函數圖象理解和研究函數的性質；

（3）能夠熟練應用定義判斷與證明函數在某區間上的單調性．

3、情態與價值:

    使學生感到學習函數單調性的必要性與重要性，增強學習函數的緊迫感.

二、教學重難點

1、教學重點：函數的單調性及其幾何意義．

2、教學難點：利用函數的單調性定義判斷、證明函數的單調性．

三、教學準備

1、學法：從觀察具體函數圖象引入，直觀認識增減函數，利用這定義證明函數單調性。通過練習、交流反饋，鞏固從而完成本節課的教學目標。

2、教學用具：投影儀、計算機.

四、教學過程：

（一）創設情景，揭示課題

1. 觀察下列各個函數的圖象，并說說它們分別反映了相應函數的哪些變化規律：

   

    

    

    

    

    

   1 隨x的增大，y的值有什么變化？

   2 能否看出函數的最大、最小值？

   3 函數圖象是否具有某種對稱性？

2. 畫出下列函數的圖象，觀察其變化規律：      

   （1）f(x) = x

    1 從左至右圖象上升還是下降 ______?

   2 在區間 ____________ 上，隨著x的增

   大，f(x)的值隨著 ________ ．

    

   （2）f(x) = x2

   1在區間 ____________ 上，

   f(x)的值隨著x的增大而 ________ ．

   2 在區間 ____________ 上，f(x)的值隨

   著x的增大而 ________ ．

    

   3、從上面的觀察分析，能得出什么結論？

   學生回答后教師歸納：從上面的觀察分析可以看出：不同的函數，其圖象的變

   化趨勢不同，同一函數在不同區間上變化趨勢也不同，函數圖象的這種變化規律就是函數性質的反映，這就是我們今天所要研究的函數的一個重要性質——函數的單調性（引出課題）。

   （二）研探新知

   1、y = x2的圖象在y軸右側是上升的，如何用數學符號語言來描述這種“上升”呢？

   學生通過觀察、思考、討論，歸納得出：

   函數y = x2在（0，+∞）上圖象是上升的，用函數解析式來描述就是：對于（0，+∞）上的任意的x1，x2，當x1＜x2時，都有x12＜x22 . 即函數值隨著自變量的增大而增大，具有這種性質的函數叫增函數。

   2．增函數

   一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，

   如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1

   3、從函數圖象上可以看到，y= x2的圖象在y軸左側是下降的，類比增函數的定義，你能概括出減函數的定義嗎？

   注意：

   1 函數的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，是函數的局部性質；

   2 必須是對于區間D內的任意兩個自變量x1，x2；當x1

   4．函數的單調性定義

   如果函數y=f(x)在某個區間上是增函數或是減函數，那么就說函數y=f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間D叫做y=f(x)的單調區間：

   （三）質疑答辯，發展思維。

   根據函數圖象說明函數的單調性．

   例1 如圖是定義在區間[－5，5]上的函數y=f(x)，根據圖象說出函數的單調區間，以及在每一單調區間上，它是增函數還是減函數？

    

   

          解：略

   例2 物理學中的玻意耳定律P=（k為正常數）告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積V減少時，壓強P將增大。試用函數的單調性證明之。

   分析：按題意，只要證明函數P=在區間（0，+∞）上是減函數即可。

   證明：略

   3．判斷函數單調性的方法步驟

   利用定義證明函數f(x)在給定的區間D上的單調性的一般步驟：

   ① 任取x1，x2∈D，且x1

   ②作差f(x2)－f(x1)；

   ③變形（通常是因式分解和配方）；

   ④定號（即判斷差f(x2)－f(x1)的正負）；

   ⑤下結論（即指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性）．

   鞏固練習：

   1 課本P38練習第1、2、3題；

   2 證明函數在（1，+∞）上為增函數．

   例3．

   解：（略）

   思考：畫出反比例函數的圖象．

   1 這個函數的定義域是什么？

   2 它在定義域I上的單調性怎樣？證明你的結論．

   （四）歸納小結

   函數的單調性一般是先根據圖象判斷，再利用定義證明．畫函數圖象通常借助計算機，求函數的單調區間時必須要注意函數的定義域，單調性的證明一般分五步：

   取 值 →作 差 → 變 形 → 定 號 → 下結論

   （五）設置問題，留下懸念

   1、教師提出下列問題讓學生思考：

   ①通過增（減）函數概念的形成過程，你學習到了什么？

   ②增（減）函數的圖象有什么特點？如何根據圖象指出單調區間？

   ③怎樣用定義證明函數的單調性？

   師生共同就上述問題進行討論、交流，發表自己的意見。

   2、書面作業：課本P39習題1、3題（A組）第1,2題。

    

                                                               指導教師:黃文彬

    

                                                                    2020.1.2